2017年01月15日

期权经典套利策略解读:带你挖掘无风险套利机会

2017年01月15日

导读:

期权的无风险套利机会主要来源于期权价格与理论发生偏离,使原本合约及合约间的价格平衡遭到破坏,继而产生风险为零,收益恒为正套利策略。


由于期权的价格在图形上看是一条曲线,因此该曲线的性质很大程度上决定了期权价格应该满足的性质:如曲线的上下限决定了期权价格的上下界,曲线的凸性决定了不同履约价格合约间应当满足的关系。投资者可以从上述这些性质出发,去搜寻期权合约本身及合约之间的无风险套利机会,从而给自己带来收益。


无风险套利策略很多都是经典的期权套利策略的变型或延伸。本位将从这些经典的套利策略出发,利用损益图以及期权价格曲线的性质,尝试挖掘无风险套利机会存在的条件。


一、垂直套利策略 ——> 无风险套利


首先介绍简单的情形:对于垂直套利的一系列策略而言,都只涉及两个期权,且期权合约的差异只有执行价格不同。那么根据期权的价格曲线:

 



对于看涨期权而言,执行价格越高,其他参数相同,期权价格越低;而看跌期权则正好相反。因此,对于垂直套利策略来说,如果两个执行价格不同的看涨期权合约(或者看跌期权合约)价格不满足上述曲线的性质,则该垂直套利策略无风险。以欧式看涨期权牛市垂直套利为例,较低执行价格看涨期权价格也较低,则卖高执行价期权同时买低执行价期权构成无风险套利策略。



由于看C2>C1 ,即该垂直策略初始现金流为正值,并且无论到期标的资产价格为何值,该垂直策略都保证收益大于0。


垂直套利的其他几种策略都可以类似找出无风险套利机会。


二、蝶式套利策略——> 无风险套利


1、买入蝶式套利(Long Butterfly)


该策略买入一份低执行价格和一份高执行价格期权合约的同时,卖出两份中间执行价格的期权合约。其损益图为:

从损益图可以看出,该策略在标的价格偏离K2比较大时,出现亏损。然而如果期权在交易过程当中,执行价格相邻的三份合约出现了价格背离平衡,简单地说,就是执行价格为K2的合约被高估(相对于K1、K3 而言)。那么所谓的价格平衡是一种怎样的形式?


之前的报告已经给出了期权价格的希腊值,其中Gamma值为期权价格关于标的资产价格的二次偏导数,且Gamma恒为正值,即曲线是凸的。接下来利用期权价格曲线的凸性,搜寻将蝶式套利策略转化为无风险套利的条件。通过绘制期权价格关于执行价格的关系曲线示意图。


根据价格曲线的凸性,图中C1C2段斜率绝对值要大于 C2C3段斜率的绝对值。转化成数学的关系式即为:

(C1-C2)/(K2-K1)>(C2-C3)/(K3-K2)


整理不等式(往蝶式套利策略的构成靠拢):

(K3-K2)/(K3-K1)*C1+ (K2-K1)/(K3-K1)*C3>C2


仔细观察不等式,可以发现不等式两边分别为C1 、C2 和C3 ,已经十分接近蝶式套利的架构。(如果执行价格间距相等,则形式和蝶式套利一致。)接下来考虑上述不等式不成立的情况下如何构建无风险套利策略。

 

考虑策略A:

买入(K3-K2)/(K3-K1)单位的C1和(K2-K1)/(K3-K1)单位的C3,同时卖出1个单位的C2。


分析策略A:

由于 (K3-K2)/(K3-K1) + ( K2-K1)/( K3-K1)=1,则期权到期损益图中,当标的资产价格超过K3时,期权损益为一固定值,且该值与标的资产小于K1时的期权损益值一致。


根据假设,可知该固定值正好为卖出期权与买入期权的价差:

C2-(K3-K2)/(K3-K1)*C1+ (K2-K1)/(K3-K1)*C3


由于该种情形执行价格的间距不一定相等,因此损益图不像蝶式套利那样关于中间执行价格对称。


策略A损益图:

对于看跌期权的蝶式买入套利策略,依照同样的分析方法,可以找到无风险套利的机会以及无风险套利的策略。


2、卖出蝶式套利(Short Butterfly)


该策略卖出一份低执行价格和高执行价格期权合约的同时,买入两份中间执行价格的期权合约,其损益图为:

从损益图可以看出,标的资产价格偏离中间执行价格较小时,策略的损失达到最大。而标的价格远离中间执行价格时,该策略为投资者带来固定收益。


以看涨期权为例,根据上一段的分析,若不等式:

(K3-K2)/(K3-K1)*C1+ (K2-K1)/(K3-K1)*C3>C2

成立,则前述的买入蝶式套利方式的无风险套利机会不存在,那对于卖出蝶式套利策略,其对应的无风险套利的条件又是如何?


试想一下,若卖出套利策略的损益图向上平移若干个单位,则可以使得期权到期损益曲线完全位于横轴上方,该种情况下卖出蝶式策略称为无风险套利。而损益曲线的向上平移,意味着策略的初始现金流入增加,即将C1、C3与C2的价差扩大。至于价差满足怎样的关系式,由下面示意图给出:


通过上图,可以得出:X=(K2- K1)* C1的头寸。


考虑如下差价关系:

(K3-K2)/(K3-K1)*C1+ (K2-K1)/(K3-K1)*C3-C2>(K3-K2)/(K3-K1)*(K2-K1)


如果将C1的头寸设为(K3-K2)/(K3-K1)单位的空头,则通过不等式左边构建出来的策略,其损益图完全位于横轴上方。


于是,上述不等式正是将卖出蝶式套利策略转化为无风险套利的条件。


无风险套利策略:卖出(K3-K2)/(K3-K1)单位C1、(K2-K1)/(K3-K1)单位C3,同时买入一份C2。


对于看跌期权的蝶式卖出套利策略,依照同样的分析方法,可以找到无风险套利的机会以及无风险套利的策略。


三、飞鹰式套利策略


1、买入飞鹰式套利(Long Condor)


该策略涉及 4 个期权合约,在买入一个低执行价格和一个高执行价格期权合约的同时,卖出两个中间执行价格(两个执行价格不同)的期权合约,并且执行价格间距相等。该策略的损益图为(看涨期权):

从损益图看,飞鹰式套利与蝶式套利十分类似,区别就在于中间执行价格期权合约的选择。接下来用类似于寻找蝶式无风险套利的方法,搜寻4个期权合约之间存在的无风险套利机会。

根据期权价格的凸性,可知:

(K4-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2-K1)/(K4-K1)*C4>C2

(K4-K3)/(K4-K1)*C1+ (K3-K1)/(K4-K1)*C4>C3


将其相加,得到:

(2K4-K3-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2+K3-2K1)/(K4-K1)*C4>C2+C3

如果

(2K4-K3-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2+K3-2K1)/(K4-K1)*C4< P>

就可获得无风险套利机会。


具体策略:

买入(2K4-K3-K2)/(K4-K1)单位的C1和(K2+K3-2K1)/(K4-K1)单位的C4,同时卖出1个单位的C2、C3。

从上图可知,无论到期时,标的资产价格落在哪个区间范围,策略都保证非负收益,因此为无风险策略。对于看跌期权的买入飞鹰式套利,用同样的方法可以进行分析。


2、卖出飞鹰式套利(ShortCondor)


该策略在卖出一份高执行价格和低执行价格期权合约的同时,买入两份中间执行价格(两个执行价格不同)的期权合约,并且执行价格距离相等。其损益图(看涨期权)为:

利用类似于寻找卖出蝶式无风险套利的方法,考虑在什么情况下,期权损益曲线能够完全平移到横轴上方。

有期权到期的Payoff图可以看出,只要期权初始现金流入量高于MAX(X1,X2) ,就可以保证策略无风险。其中:

X1=(K2- K1)* C1的头寸,X2=(K2- K1)* C4的头寸。


而,飞鹰式套利策略4个期权合约价格满足:

(2K4-K3-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2+K3-2K1)/(K4-K1)*C4>C2+C3

即:

(2K4-K3-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2+K3-2K1)/(K4-K1)*C4-(C2+C3)>0


假如不等式左边的值太大,则会产生如蝶式套利机会。

即当

(2K4-K3-K2)/(K4-K1)*C1+ (K2+K3-2K1)/(K4-K1)*C4-(C2+C3)>max(X1,X2)

其中:X1 = (K2-K1)*(2K4-K3-K2)/(K4-K1)

X2 = (K4-K3)*(K2+K3-2K1)/(K4-K1)

时,就会出现无风险套利机会。


策略:

卖出(2K4-K3-K2)/(K4-K1) 份C1和 (K2+K3-2K1)/(K4-K1) 份C4,买入1份C2和1份C3。

从上图可知,无论到期时,标的资产价格落在哪个区间范围,策略都保证非负收益,因此为无风险策略。对于看跌期权的卖出飞鹰式套利,用同样的方法可以进行分析。


四、期权的其他无风险套利


除了前述的通过期权的经典套利策略搜寻无风险套利机会之外,还有其他的无风险套利机会。


1、买卖权平价套利


期权平价关系是指,任何时刻相同执行价格的看涨期权与看跌期权之间存在一种均衡关系,即对于同一标的、同一到期日、相同执行价格的看涨和看跌期权,在特定时间里看涨期权与看跌期权的差价,应该等于标的资产现价与期权执行价格贴现值之差,即:

C-P=S-Ke-rT,

该性质称为Put-Call Parity。


如果该等式一旦变成不等式,则可以通过卖出不等式两边价格较高的资产组合同时买入价格较低的资产组合的方式来进行无风险套利。


可以将看涨期权与看跌期权的差价视为组合A,将标的资产现价与期权执行价格贴现值之差视为组合B。当A≠B时,可以通过买低卖高获得两者的价差收益。买卖权平价套利的损益曲线是一条水平的直线,且位于0轴上方。


基于Put-Call Parity的无风险套利策略可以理解为:通过期权复制现货的方式在期权、现货两个市场之间进行无风险套利。


如果同时买入一手看跌期权和卖出一手同行权价的看涨期权,假设C是看涨期权权利金,P是看跌期权权利金,K是共同的行权价,因为该组合共支付了P-C的成本,因此损益平衡点K-(P-C)才是“复制”所得标的物空头的真正“卖出价”。


如果上述期权组合“复制”出的标的物空头价格比实际价格贵,也可以在期权和标的物两个市场上赚差价,在买入看跌期权和卖出同数量同行权价看涨期权的同时做多同数量的标的物。


除了复制标的物空头,期权还能复制多头。若买入看涨期权C,则行情上涨时盈利,同时再卖出同行权价的看跌期权P,行情下跌就会亏损,于是就完美复制出了标的物多头。由于共支付了C-P的净权利金,因此复制品的买入价为K+C-P。若标的物市场上的实际价格高于复制品,就可以从期权市场“买”标的物,同时在标的物市场上卖出,从而赚取无风险的差价,即买入看涨期权并卖出同行权价同数量看跌期权的同时,做空同行权价的标的物。


2、箱式套利


箱式套利又称盒式套利,是由一个牛市价差组合和一个熊市价差组合构成。箱型差价关系是建立在牛市差价期权与熊市差价期权之间的无套利原则之上。


根据换言之,较低执行价格看涨期权价格与较高执行价格看涨期权价格之差,加上较高执行价格看跌期权价格与较低执行价格看跌期权价格之差,应当等于较高执行价格与较低执行价格之差的贴现值,即C1-C2+P2-P1= K2e-rT–K1e-rT,也就是C1-P1+K1e-rT =C2-P2+ K2e-rT。当C1-P1+K1e-rT≠C2-P2+K2e-rT时,可以通过买低卖高获得两者的价差收益。


五、期权套利机会和组合构建原则


期权无风险套利是一种理想化的期权交易方式,旨在实现严格意义上的套利,即通过适当的期权组合在期权市场上实现无风险的利润。从某种程度上来讲,无风险套利的目标是在期权市场上享受“免费的午餐”,但套利的机会较少,往往在一些特殊的情况下才有可能发生。


随着参与套利的投资者不断增多,以及机构自动化交易系统的成熟,新兴市场的套利机会及空间也将不断减小。从国际成熟市场的经验来看,后期把握套利机会主要依靠较低的交易费用和较高的下单速度,目前成熟市场中仅做市商或专业的交易员才有资源去获得期权套利机会。


套利能赚取无风险的收益,各类投资者必全力争夺,即便套利机会如流星般闪现,也会被各种“全自动刷票软件”抢走。在行情波动剧烈的时间段,这类机会尤其容易出现,但也稍纵即逝。因此,在真实行情中这种机会一般很难被散户投资者获取。


一般来说,在构造期权无风险套利时,应当遵循两条基本原则:一是买低卖高原则,即买进价值被低估的期权,卖出价值被高估的期权;二是风险对冲原则,即利用合成期权对冲买入或卖出实际期权的风险头寸。若要在期权市场上进行套利活动,套利者首先要根据期权价格规律即时捕捉到任何可能的套利机会,即被错误定价的期权,然后根据上面两个原则来构造无风险套利组合。


作者:武神坛 麒麟


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